8 réflexes à acquérir pour résoudre des exercices de maths

ontrairement à une idée assez répandue, l’activité mathématique ne se réduit pas à l’usage de formules ou de recettes mécaniques pour résoudre les problèmes. Résoudre un problème requière, en plus des connaissances, une certaine intuition, de l’imagination, de la créativité… Ces compétences s’acquièrent avec l’expérience. Je ne prône pas du tout l’usage de recettes pour résoudre des questions mathématiques. Cependant, il existe quelques petites astuces à connaître absolument qui vous dépanneront surement plus d’une fois. Je vous conseille de lire cet article qui donne quelques astuces quand on est bloqué sur un exercice de math.
Voici en vrac quelques techniques, astuces et réflexes à acquérir pour résoudre des exercices de maths :

Astuce 1 : Comment comparer 2 nombres ?

a question peut paraître triviale. Ce type de consigne peut être assez déroutante lorsque ces nombres contiennent des variables, comme le montre l’exemple ci-dessous.

Pour comparer 2 nombres a et b, l’astuce consiste à étudier le signe de leur différence a – b.

En effet, a – b <  0 ⇔ a < b et  a – b > 0 ⇔ a > b.

Le problème se pose typiquement lorsqu’on doit étudier le sens de variation d’une suite (U_n). Il s’agit donc de comparer le terme général de la suite avec son suivant. A-t-on :

U_n+1 ≤ U_n ou U_n+1 ≥ U_n ou peut être ni l’un ni l’autre…

Exemple :
Déterminer le sens de variation de la suite de terme général U_n = n(n + 3).

Astuce 2 : Comment trouver le signe d’une quantité ?

a règle d’or est de factoriser ! En effet, en vertu de la règle des signes, il est toujours plus aisé de trouver le signe d’un produit que d’une somme.

Cela revient à montrer que (U_n) ≤ 3. Utilisons l’astuce précédente. En effet, il est plus pratique de calculer (U_n) – 3 et de montrer que cette quantité est négative.

Comment déterminer le signe de (U_n) – 3 ?

Astuce 3 : Repérer la 3ème identité remarquable.

es trois célèbres identités remarquables que l’on apprend au collège sont largement utilisées même au niveau supérieur. Il est important d’avoir le réflexe de les identifier au premier coup d’œil et en particulier la 3^ème qui permettra de factoriser une expression exprimée sous la forme de la différence de deux carrés. Ce type d’expression est très fréquente mais se présente parfois sous une forme un peu « camouflée ». Cependant quelques indices classiques doivent attirer votre attention :

Exemple :
Résoudre l’équation 16 – (x – 2)² = 0. Dans cette expression, vous devez avoir le réflexe d’identifier au 1^er coup d’œil :

• Le nombre 16 qui est le carré de 4
• Une différence
• Le carré de (x – 2)

Astuce 4 : Comment prouver une égalité ?

oici 3 méthodes classiques pour prouver une égalité. Pour prouver qu’une expression A est égale à une expression B nous pouvons :

Exemple :
Montrer que (x-2)²-4 = x(x-4)

Astuce 5 : Comment se « débarrasser » des fractions ?

l peut arriver que l’on ait à résoudre une équation dont chaque membre soit exprimé sous la forme d’une fraction, ou bien que l’on vous demande de prouver une égalité de fractions. Or, il n’est pas toujours aisé de manipuler des fractions. Il existe une technique imparable pour se « débarrasser » des fractions : c’est le produit en croix.

En effet, sous réserve d’existence :

Exemple :
Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ?

Astuce 6 : Repérer l’expression « en déduire que ».

emploi dans une consigne de la formulation « en déduire que » est très fréquente dans les problèmes de maths. Elle doit absolument retenir votre attention. Elle signifie d’une part qu’il faut s’appuyer sur le résultat obtenu à la question précédente et d’autre part que la justification est rapide. En général, ce n’est pas la peine de chercher des raisonnements compliqués, c’est souvent assez immédiat.

Exemple :

Astuce 7 : Repérer les expressions égales à un carré !

n effet le produit de deux nombres de même signe est toujours positif ! Il est souvent agréable en mathématiques de se trouver en présence d’un carré car cela simplifie grandement les études de signes.

Exemple :

Astuce 8 : Penser à l’évènement contraire.

ans les exercices de probabilités, il est fréquent de rencontrer des questions du type « calculer la probabilité d’obtenir au moins…. » L’usage de l’expression « au moins » peut au premier abord paraître déroutante mais ce type de question se résout typiquement en passant par l’évènement contraire. En effet, soit un événement A et l’événement contraire noté  Ā. Il est parfois plus aisé de calculer la probabilité de l’évènement contraire puis de revenir à  p(A) en calculant  1-P(Ā).

Exemple :
Je lance 3 fois successives un dé équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un 6 ?