omment résoudre un problème de maths ? Lire l’énoncé d’un exercice semble être une recommandation bien triviale pour le résoudre. Cependant il ne s’agit pas de lire simplement le texte de l’énoncé de manière linéaire comme on le ferait pour un roman mais plutôt de le lire de manière active. Que cela signifie-t-il ?
Vous allez procéder de la manière suivante en lisant lentement la totalité de l’exercice :
Souligner ou surligner les éléments importants permet de les fixer mentalement et de ne pas en omettre l’existence lors de la résolution du problème. Ainsi, vous soulignerez :
- Les mots qui vous semblent importants.
- Les valeurs numériques importantes.
- Les hypothèses ou données importantes.
- Écartez celles qui sont inutiles (cela peut arriver dans certains exercices).
- Les expressions du type « en déduire que » sont très fréquentes dans les problèmes de maths. L’emploi de la formulation « en déduire que » suggère d’utiliser la question précédente. Pensez-y !
Noter que les articles ont aussi leur importance. Par exemple, si la consigne est : « trouver une solution de l’équation… », alors une solution particulière suffira. Si la consigne est de trouver les solutions de l’équation… » on attendra que vous trouviez l’ensemble de toutes les solutions.
Voici un énoncé dans lequel j’ai souligné les éléments importants :
Certains mots relèvent du vocabulaire mathématique et ont un sens extrêmement précis. Chacun de ses termes techniques mérite de s’y arrêter et doit faire l’objet d’une attention particulière de votre part en vous récitant la définition exacte du terme en question.
Ici les termes triangle rectangle, entiers et consécutifs sont essentiels.
Un triangle rectangle possède un angle droit, par définition. Les entiers sont les nombres du type 0, 1, 2, 3, 4, etc. et consécutifs signifie « qui se suivent », par exemple : 11, 12 et 13. Passer outre ce détail fondamental mettrait en péril la résolution du problème.
Quelle est la finalité du problème ?
La plupart du temps, les questions d’un problème ne sont pas indépendantes. Elles sont construites de manière à vous guider vers un résultat qui constitue la finalité du problème. L’enchainement des questions n’est pas fait au hasard. Il constitue une trame qui doit conduire à la conclusion finale, chaque question étant un maillon de la chaine, chacun de ces maillons nous conduisent en cascade au résultat final. Comprendre le sens général du problème permet d’en appréhender les rouages et favorisera la résolution de celui-ci.
Que me demande-t-on ?
Pour chacune des questions demandées, se poser la question : « que me demande-t-on ? » Cela vous paraitra peut-être trivial mais je vois régulièrement des élèves se lancer dans des calculs sans véritablement savoir ce qu’ils cherchent.
Par exemple : à la question « déterminer la distance parcourue par…. », je vois souvent des élèves répondre par 45 min… ou 46 m/h. Cela prouve que l’élève ne sait pas à l’avance ce qu’il cherche. S’il avait réellement identifié qu’on lui demande une distance, il aurait choisi une unité adéquate, comme les m ou Km, etc.
Quelle est la nature de la question ? Vous demande-t-on de :
- Faire un calcul ?
- Résoudre une équation ?
- Démontrer une égalité ?
- Démontrer une propriété ?
- D’établir une conjecture. C’est à dire emmètre une hypothèse sans la démontrer.
- Est une question ouverte ? Par exemple au lieu de dire montrer que les droites d et d’ sont parallèles, on peut vous demander : que peut-on dire des droites d et d’.
Considérons le problème suivant :
De quelle nature est cette question ?
Il s’agit d’une question ouverte. En effet, on ne demande pas de démontrer que le quadrilatère est un rectangle, ou un parallélogramme, etc. Il faut dans un 1er temps conjecturer la nature du quadrilatère en faisant un figure, puis dans un 2ème temps prouver ce résultat.
Ce n’est pas systématique pour tous les problèmes mais c’est souvent le cas. Il plus pratique de faire un schéma au brouillon, cela aide à la visualisation du problème et donc facilite sa résolution. Typiquement quand on demande de réaliser une figure en vraie en grandeur, il est préférable de la réaliser un schéma à main levée, ainsi on a priori une idée quant au positionnement des éléments de la figure.
Dans ce cas il est préférable d’opter pour un schéma sous la forme d’un arbre. (Un tableau à double entrée conviendrait aussi)
Comme vous le constatez, un schéma n’est pas fait pour être joli 😉
Nous arrivons au coeur du sujet : comment résoudre un problème de maths ? Une méthodologie imparable est de prendre le problème à l’envers. Que cela signifie-t-il ? Voici la partie cruciale de cet article. Pour le comprendre, prenons un exemple simple de la vie courante :
Je dois me rendre chez le médecin à 15h. Sachant que je dois auparavant m’arrêter à la boulangerie, puis aller au supermarché pour faire quelques courses, à quelle heure dois-je partir ?
Le plus simple est de procéder comme si vous vous passiez le film à l’envers. Plus précisément : je dois être chez le médecin à 15h. Compte tenu de la distance séparant le cabinet médical et le supermarché, je dois quitter celui-ci à 14h45. J’estime à 30min le temps pour faire mes courses, je dois rentrer dans le magasin à 14h15. Celui-ci est à 20 min de chez moi. Je dois donc partir à 13h55.
Pour résoudre un problème de maths on procède exactement de la même façon. Le mieux est de vous l’expliquer par un exemple. Considérons le problème suivant :
Que me demande-t-on ?
Réponse : de prouver que l’étagère est horizontale
Qu’est ce qui pourrait prouver que l’étagère est horizontale ?
Réponse : qu’il y ait un angle droit en M
Qu’est qui pourrait prouver qu’il y a un angle droit en M
Réponse : en montrant que le triangle MNL est rectangle en M
Qu’est ce qui pourrait prouver que le triangle est rectangle en M ?
Réponse : en utilisant la réciproque de Pythagore.
Nous avons notre raisonnement, il n’y a plus qu’à le dérouler « à l’endroit »
- Grâce à la réciproque de Pythagore, je prouve que le triangle MNL est rectangle en M
- J’en conclu que (ML) est perpendiculaire à (MP)
- J’en conclus que l’étagère est horizontale.
Avez-vous lu le 2ème onglet ?
Ça y est vous êtes arrivés au résultat final, vous avez enfin votre solution ! Le processus s’arrête-t-il là ? Et bien non, vous n’êtes pas encore au bout de vos peines ! Vous devez alors faire preuve d’esprit critique quant à votre résultat. Vous avez par exemple résolu une équation et trouvé la ou les solutions. Replacer alors cette valeur dans le contexte de l’exercice et posez-vous les questions suivantes :
- Votre résultat est-il vraisemblable ? C’est en effet la première question à se poser quand on finalise un calcul. Mon résultat est-il plausible ? Si l’on trouve 50000 m pour la hauteur d’un édifice c’est probablement qu’il y a une erreur dans l’erreur dans le calcul ou le raisonnement.
- Si solution est cohérente avec le contexte de l’exercice il est malgré tout utile de se relire. Si vous avez tendance comme moi à être étourdi, je vous conseille de vous relire afin de corriger d’éventuelles fautes d’étourderies qui pourraient vous pénaliser plus ou moins lourdement.
Si malgré tout, vous séchez sur une question, lisez cet article pour découvrir 3 idées quand on est bloqué sur une question de maths.
